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Aufgabenstellung.md

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-# Aufgabenstellung
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-Aus der PDF entnommen mit der Auswahl an PVL-Themen
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-### "Vergleich von linearen Prädiktionsstrategien (NLMSvariants)"
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-Das Voraussagen von Signalwerten ist ein Schlüsselelement in modernen Kompressionssystemen.
-Aber auch in anderen Anwendungsgebieten ist die Prädiktion von Ereignissen erforderlich.
-Aufgabe ist es, ein Matlab/SciLab/Octave/C-Programm zu schreiben, das Varianten eines bestimmten
-Prädiktionsverfahrens miteinander vergleicht.
-Adaptive Prädiktionsfilter passen sich der Charakteristik der Signale an und gehören somit in den
-Bereich des maschinellen Lernens. So genannte Least-Mean-Square-Filter (LMS) sind adaptive
-Filter mit einer vergleichsweisen geringen Komplexität. Im Wesentlichen werden M vorangegangene
-Signalwerte gewichtet überlagert, um einen Schätzwert für die aktuelle Position zu generieren.
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-Xˉ [𝑛] = <20>𝑎𝑗[𝑛] ∙ 𝑥[𝑛 − 𝑗]
-
-Der Prädiktionsfehler lautet: e[𝑛] = 𝑥[𝑛] − 𝑥'[𝑛]. Um die Prädiktionsfehlerenergie zu minimieren
-müssen die Filterkoeffizienten nachgeführt (aktualisiert) werden
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-𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 * 𝑒[𝑛] * 𝑥[𝑛−𝑗]
- 
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗]) 𝑀 2
-𝑗=1
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-während 0 < 𝜇 ≤ 1 die Lernrate ist.
-Leider funktioniert das nur gut, wenn der Mittelwert von x[n] gleich Null ist. Für Bilder und auch
-teilweise für Sprachsignale ist das nicht gegeben. Als Lösung kommen drei Varianten in Frage,
-welche die obigen Formeln leicht abwandeln:
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-1. lokalen Mittelwert abziehen
- 
- 𝑥
-<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥̅[𝑛] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥̅[𝑛]) 𝑀
-𝑗=1 mit 𝑥̅[𝑛] = 1
-𝑀 ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑗] 𝑀
-𝑗=1
-und
- 𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
-𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥̅[𝑛]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥<>[𝑛]) 𝑀 2
-𝑗=1
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-2. Bezug auf direkten Vorgänger nehmen
-
-𝑥
-<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
-𝑗=1
-und
-𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
-𝑥[𝑛−1]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
-𝑗=1
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-3. differentiellen Bezug auf Vorgänger nehmen
-
-𝑥
-<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
-𝑗=1
-und
-𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
-𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
-𝑗=1
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-Das originale Verfahren und die drei Varianten sind zu implementieren und mit verschiedenen
-Testsignalen (synthetisierte und reale, N>= 500) und verschiedene M zu prüfen. Als Gütekriterium
-ist die mittlere Energie des Schätzfehlers 𝐸 = 1
-𝑁
-
-<EFBFBD> ∑ (𝑒[𝑛]) 𝑁 2 𝑛=1 heranzuziehen. Bei selbstgenerierten
-Signalen könnte auch die Konvergenz der Filterkoeffizienten zu den richtigen Werten
-untersucht werden.
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-Weitere Unterstützung wird bei Bedarf gegeben. Alle Untersuchungen sind schriftlich zu dokumentieren.
-Neben der schriftlichen Arbeit sind alle Quellen (Programmcode, Texte, Testsignale)
-und Tools abzugeben, damit eine Reproduktion der Ergebnisse möglich ist.
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-Teilaufgaben:
-* Koordination
-* Recherche
-* Programmierung
-* Dokumentation (Grundlagen, Methode, Änderungen am Quellcode, Kompressionsergebnisse)
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-## E-Mail Ergänzung zur Aufgabenstellung:
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-Sehr geehrte Studierende,
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-danke für die Wahl des Themas.
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-Zur Themenstellung möchte ich Folgendes ergänzen:
-Die drei Varianten sind jeweils in einer Schleife über alle 
-verfügbaren Signalwerte abzuarbeiten, wobei typischer Weise mit 
-Filterkoeffizienten a_j = 0 angefangen wird.
-Abweichend davon ist es evtl. sinnvoll, a_1=1 zusetzen.
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-Testsignale können Sie sich selbst generieren, wobei wir uns 
-hierüber noch abstimmen sollten.
-Man könnte verschiedene Zeilen aus verschiedenen Bildern nehmen, 
-Sprachsignale aufzeichnen oder Signale synthetisch generieren:
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-z.B.
-x[0] = x[1] = x[2] =..= x[M] = 100;
-for n = M+1: N-1
-   x[n] = a_1 * x[n-1] + a_2 * x[n-2] + ..+ a_M *x[n-M] + 
-randn(1,1)*5;
-end     
-
-Die Koeffizienten des LMS-Filters müssten dann gegen die bei der 
-Synthese verwendeten Koeffizienten konvergieren
-Achtung: bei Matlab beginnt das Indizieren mit 1 (statt 0).
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-Bitte fangen Sie zeitnah an.
-Falls es Unklarheiten zum Ablauf oder der Verfahrensweise gibt, 
-bitte per Email bei mir melden.
-Da es gewisse Freiheitsgrade in der Bearbeitung gibt, wäre es sehr 
-sinnvoll, wenn Sie mir regelmäßig über den Stand der PVL berichten 
-und wir uns ggf. austauschen können.
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-Mit freundlichen Grüßen
-T.Strutz
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