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 # NLMSvariants
 
 
-## ~Inhalt~
+## Aufgabenstellung
 
+Aus der PDF entnommen mit der Auswahl an PVL-Themen
 
-NLMSvariants!!
+### "Vergleich von linearen Prädiktionsstrategien (NLMSvariants)"
+
+Das Voraussagen von Signalwerten ist ein Schlüsselelement in modernen Kompressionssystemen.
+Aber auch in anderen Anwendungsgebieten ist die Prädiktion von Ereignissen erforderlich.
+Aufgabe ist es, ein Matlab/SciLab/Octave/C-Programm zu schreiben, das Varianten eines bestimmten
+Prädiktionsverfahrens miteinander vergleicht.
+Adaptive Prädiktionsfilter passen sich der Charakteristik der Signale an und gehören somit in den
+Bereich des maschinellen Lernens. So genannte Least-Mean-Square-Filter (LMS) sind adaptive
+Filter mit einer vergleichsweisen geringen Komplexität. Im Wesentlichen werden M vorangegangene
+Signalwerte gewichtet überlagert, um einen Schätzwert für die aktuelle Position zu generieren
+
+Xˉ [𝑛] = <20>𝑎𝑗[𝑛] ∙ 𝑥[𝑛 − 𝑗]
+𝑀
+𝑗=1
+Der Prädiktionsfehler lautet: e[𝑛] = 𝑥[𝑛] − 𝑥<>[𝑛]. Um die Prädiktionsfehlerenergie zu minimieren
+müssen die Filterkoeffizienten nachgeführt (aktualisiert) werden
+ 𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙ 𝑥[𝑛−𝑗]
+||𝐱[𝑛]||
+2 mit ||𝐱[𝑛]||
+2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗]) 𝑀 2
+𝑗=1
+während 0 < 𝜇 ≤ 1 die Lernrate ist.
+Leider funktioniert das nur gut, wenn der Mittelwert von x[n] gleich Null ist. Für Bilder und auch
+teilweise für Sprachsignale ist das nicht gegeben. Als Lösung kommen drei Varianten in Frage,
+welche die obigen Formeln leicht abwandeln:
+1. lokalen Mittelwert abziehen
+ 𝑥
+<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥̅[𝑛] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥̅[𝑛]) 𝑀
+𝑗=1 mit 𝑥̅[𝑛] = 1
+𝑀 ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑗] 𝑀
+𝑗=1
+und
+ 𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
+𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥̅[𝑛]
+||𝐱[𝑛]||
+2 mit ||𝐱[𝑛]||
+2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥<>[𝑛]) 𝑀 2
+𝑗=1
+2. Bezug auf direkten Vorgänger nehmen
+𝑥
+<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
+𝑗=1
+und
+𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
+𝑥[𝑛−1]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
+||𝐱[𝑛]||
+2 mit ||𝐱[𝑛]||
+2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
+𝑗=1
+3. differentiellen Bezug auf Vorgänger nehmen
+𝑥
+<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
+𝑗=1
+und
+𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
+𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
+||𝐱[𝑛]||
+2 mit ||𝐱[𝑛]||
+2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
+𝑗=1
+Das originale Verfahren und die drei Varianten sind zu implementieren und mit verschiedenen
+Testsignalen (synthetisierte und reale, N>= 500) und verschiedene M zu prüfen. Als Gütekriterium
+ist die mittlere Energie des Schätzfehlers 𝐸 = 1
+𝑁
+<EFBFBD> ∑ (𝑒[𝑛]) 𝑁 2 𝑛=1 heranzuziehen. Bei selbstgenerierten
+Signalen könnte auch die Konvergenz der Filterkoeffizienten zu den richtigen Werten
+untersucht werden.
+Weitere Unterstützung wird bei Bedarf gegeben. Alle Untersuchungen sind schriftlich zu dokumentieren.
+Neben der schriftlichen Arbeit sind alle Quellen (Programmcode, Texte, Testsignale)
+und Tools abzugeben, damit eine Reproduktion der Ergebnisse möglich ist.
+Teilaufgaben:
+• Koordination
+• Recherche
+• Programmierung
+• Dokumentation (Grundlagen, Methode, Änderungen am Quellcode, Kompressionsergebnisse)
+Max. 5 Personen,
+Max. 2.5 Zusatzpunkte für Klausur