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 # NLMSvariants
 
 
-## Aufgabenstellung
-
-Aus der PDF entnommen mit der Auswahl an PVL-Themen
-
-### "Vergleich von linearen Prädiktionsstrategien (NLMSvariants)"
-
-Das Voraussagen von Signalwerten ist ein Schlüsselelement in modernen Kompressionssystemen.
-Aber auch in anderen Anwendungsgebieten ist die Prädiktion von Ereignissen erforderlich.
-Aufgabe ist es, ein Matlab/SciLab/Octave/C-Programm zu schreiben, das Varianten eines bestimmten
-Prädiktionsverfahrens miteinander vergleicht.
-Adaptive Prädiktionsfilter passen sich der Charakteristik der Signale an und gehören somit in den
-Bereich des maschinellen Lernens. So genannte Least-Mean-Square-Filter (LMS) sind adaptive
-Filter mit einer vergleichsweisen geringen Komplexität. Im Wesentlichen werden M vorangegangene
-Signalwerte gewichtet überlagert, um einen Schätzwert für die aktuelle Position zu generieren.
-
-Xˉ [𝑛] = <20>𝑎𝑗[𝑛] ∙ 𝑥[𝑛 − 𝑗]
-
-Der Prädiktionsfehler lautet: e[𝑛] = 𝑥[𝑛] − 𝑥'[𝑛]. Um die Prädiktionsfehlerenergie zu minimieren
-müssen die Filterkoeffizienten nachgeführt (aktualisiert) werden
-
- 𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙ 𝑥[𝑛−𝑗]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗]) 𝑀 2
-𝑗=1
-
-während 0 < 𝜇 ≤ 1 die Lernrate ist.
-Leider funktioniert das nur gut, wenn der Mittelwert von x[n] gleich Null ist. Für Bilder und auch
-teilweise für Sprachsignale ist das nicht gegeben. Als Lösung kommen drei Varianten in Frage,
-welche die obigen Formeln leicht abwandeln:
-
-1. lokalen Mittelwert abziehen
- 
- 𝑥
-<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥̅[𝑛] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥̅[𝑛]) 𝑀
-𝑗=1 mit 𝑥̅[𝑛] = 1
-𝑀 ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑗] 𝑀
-𝑗=1
-und
- 𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
-𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥̅[𝑛]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥<>[𝑛]) 𝑀 2
-𝑗=1
-
-2. Bezug auf direkten Vorgänger nehmen
-
-𝑥
-<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
-𝑗=1
-und
-𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
-𝑥[𝑛−1]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
-𝑗=1
-
-3. differentiellen Bezug auf Vorgänger nehmen
-
-𝑥
-<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
-𝑗=1
-und
-𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
-𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
-||𝐱[𝑛]||
-2 mit ||𝐱[𝑛]||
-2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
-𝑗=1
-
-Das originale Verfahren und die drei Varianten sind zu implementieren und mit verschiedenen
-Testsignalen (synthetisierte und reale, N>= 500) und verschiedene M zu prüfen. Als Gütekriterium
-ist die mittlere Energie des Schätzfehlers 𝐸 = 1
-𝑁
-
-<EFBFBD> ∑ (𝑒[𝑛]) 𝑁 2 𝑛=1 heranzuziehen. Bei selbstgenerierten
-Signalen könnte auch die Konvergenz der Filterkoeffizienten zu den richtigen Werten
-untersucht werden.
-
-Weitere Unterstützung wird bei Bedarf gegeben. Alle Untersuchungen sind schriftlich zu dokumentieren.
-Neben der schriftlichen Arbeit sind alle Quellen (Programmcode, Texte, Testsignale)
-und Tools abzugeben, damit eine Reproduktion der Ergebnisse möglich ist.
-
-Teilaufgaben:
-* Koordination
-* Recherche
-* Programmierung
-* Dokumentation (Grundlagen, Methode, Änderungen am Quellcode, Kompressionsergebnisse)
-