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# Aufgabenstellung
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Aus der PDF entnommen mit der Auswahl an PVL-Themen
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### "Vergleich von linearen Prädiktionsstrategien (NLMSvariants)"
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Das Voraussagen von Signalwerten ist ein Schlüsselelement in modernen Kompressionssystemen.
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Aber auch in anderen Anwendungsgebieten ist die Prädiktion von Ereignissen erforderlich.
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Aufgabe ist es, ein Matlab/SciLab/Octave/C-Programm zu schreiben, das Varianten eines bestimmten
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Prädiktionsverfahrens miteinander vergleicht.
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Adaptive Prädiktionsfilter passen sich der Charakteristik der Signale an und gehören somit in den
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Bereich des maschinellen Lernens. So genannte Least-Mean-Square-Filter (LMS) sind adaptive
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Filter mit einer vergleichsweisen geringen Komplexität. Im Wesentlichen werden M vorangegangene
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Signalwerte gewichtet überlagert, um einen Schätzwert für die aktuelle Position zu generieren.
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Xˉ [𝑛] = <20>𝑎𝑗[𝑛] ∙ 𝑥[𝑛 − 𝑗]
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Der Prädiktionsfehler lautet: e[𝑛] = 𝑥[𝑛] − 𝑥'[𝑛]. Um die Prädiktionsfehlerenergie zu minimieren
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müssen die Filterkoeffizienten nachgeführt (aktualisiert) werden
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<span class="math">%%𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 * 𝑒[𝑛] * 𝑥[𝑛−𝑗]%%</span>
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||𝐱[𝑛]||
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2 mit ||𝐱[𝑛]||
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2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗]) 𝑀 2
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𝑗=1
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während 0 < 𝜇 ≤ 1 die Lernrate ist.
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Leider funktioniert das nur gut, wenn der Mittelwert von x[n] gleich Null ist. Für Bilder und auch
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teilweise für Sprachsignale ist das nicht gegeben. Als Lösung kommen drei Varianten in Frage,
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welche die obigen Formeln leicht abwandeln:
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1. lokalen Mittelwert abziehen
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𝑥
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<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥̅[𝑛] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥̅[𝑛]) 𝑀
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𝑗=1 mit 𝑥̅[𝑛] = 1
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𝑀 ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑗] 𝑀
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𝑗=1
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und
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𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
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𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥̅[𝑛]
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||𝐱[𝑛]||
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2 mit ||𝐱[𝑛]||
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2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥<EFBFBD>[𝑛]) 𝑀 2
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𝑗=1
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2. Bezug auf direkten Vorgänger nehmen
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𝑥
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<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
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𝑗=1
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und
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𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
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𝑥[𝑛−1]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
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||𝐱[𝑛]||
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2 mit ||𝐱[𝑛]||
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2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 1] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
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𝑗=1
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3. differentiellen Bezug auf Vorgänger nehmen
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𝑥
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<EFBFBD>[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + ∑ 𝑎𝑗[𝑛] ∙ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀
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𝑗=1
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und
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𝑎𝑗[𝑛 + 1] = 𝑎𝑗[𝑛] + 𝜇 ∙ 𝑒[𝑛] ∙
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𝑥[𝑛−𝑗]−𝑥[𝑛−𝑗−1]
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||𝐱[𝑛]||
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2 mit ||𝐱[𝑛]||
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2 = ∑ (𝑥[𝑛 − 𝑗] − 𝑥[𝑛 − 𝑗 − 1]) 𝑀 2
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𝑗=1
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Das originale Verfahren und die drei Varianten sind zu implementieren und mit verschiedenen
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Testsignalen (synthetisierte und reale, N>= 500) und verschiedene M zu prüfen. Als Gütekriterium
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ist die mittlere Energie des Schätzfehlers 𝐸 = 1
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𝑁
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<EFBFBD> ∑ (𝑒[𝑛]) 𝑁 2 𝑛=1 heranzuziehen. Bei selbstgenerierten
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Signalen könnte auch die Konvergenz der Filterkoeffizienten zu den richtigen Werten
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untersucht werden.
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Weitere Unterstützung wird bei Bedarf gegeben. Alle Untersuchungen sind schriftlich zu dokumentieren.
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Neben der schriftlichen Arbeit sind alle Quellen (Programmcode, Texte, Testsignale)
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und Tools abzugeben, damit eine Reproduktion der Ergebnisse möglich ist.
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Teilaufgaben:
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* Koordination
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* Recherche
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* Programmierung
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* Dokumentation (Grundlagen, Methode, Änderungen am Quellcode, Kompressionsergebnisse)
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## E-Mail Ergänzung zur Aufgabenstellung:
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Sehr geehrte Studierende,
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danke für die Wahl des Themas.
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Zur Themenstellung möchte ich Folgendes ergänzen:
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Die drei Varianten sind jeweils in einer Schleife über alle
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verfügbaren Signalwerte abzuarbeiten, wobei typischer Weise mit
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Filterkoeffizienten a_j = 0 angefangen wird.
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Abweichend davon ist es evtl. sinnvoll, a_1=1 zusetzen.
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Testsignale können Sie sich selbst generieren, wobei wir uns
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hierüber noch abstimmen sollten.
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Man könnte verschiedene Zeilen aus verschiedenen Bildern nehmen,
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Sprachsignale aufzeichnen oder Signale synthetisch generieren:
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z.B.
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x[0] = x[1] = x[2] =..= x[M] = 100;
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for n = M+1: N-1
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x[n] = a_1 * x[n-1] + a_2 * x[n-2] + ..+ a_M *x[n-M] +
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randn(1,1)*5;
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end
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Die Koeffizienten des LMS-Filters müssten dann gegen die bei der
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Synthese verwendeten Koeffizienten konvergieren
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Achtung: bei Matlab beginnt das Indizieren mit 1 (statt 0).
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Bitte fangen Sie zeitnah an.
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Falls es Unklarheiten zum Ablauf oder der Verfahrensweise gibt,
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bitte per Email bei mir melden.
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Da es gewisse Freiheitsgrade in der Bearbeitung gibt, wäre es sehr
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sinnvoll, wenn Sie mir regelmäßig über den Stand der PVL berichten
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und wir uns ggf. austauschen können.
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Mit freundlichen Grüßen
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T.Strutz
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